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在概率或者统计中,多元正态分布(多元高斯分布)是一元正态分布的扩展。其定义为:
定性描述
一个k维的随机向量,如果其k个分量的任意线性组合所构成的那个随机变量,都是一元正态分布的话,那么我们就说这个k维随机向量是服从k元正态分布。
k元正态分布常用来描述、逼近 这样的一组随机变量:实值随机变量的集合,这些随机变量之间(可能)有相关关系,并这些随机变量所构成的每一个cluster的中心都在某一个均值(集合中若干随机变量的均值)附近。
概念及参数化
k−dim 随机变量X=[X1,X2,⋯,Xk]T 的高斯分布可以写作:
X∼N(μ,Σ)OrX∼Nk(μ,Σ)
其k−dim 均值(mean vector)为:
μ=E[X]=[E[X1],E[X2],⋯,E[Xk]]T
其k×k−dim的协方差矩阵(covariance matrix)为:
Σ=E[(X−E[X])(X−E[X])T]=[Cov[Xi,Xj];1<i,j<k]
要点:
- 均值 μ 是一个 k−dim 的向量
- 协方差矩阵 Σ 是一个k×k 的对称矩阵
定义
一个随机向量 X=[X1,X2,⋯,Xk]T 如果满足如下3个等价条件,那么我们就说 X 服从多元高斯分布:
- 其分量(components)的每一个线性组合:Y=a1X1+a2X2+⋯+akXk 均为一元正态分布。也就是说,对任何常数向量 a∈Rk, 随机变量 Y=aTX 都有一个一元高斯分布。
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属性
由定义立即可以得到以下结论:
- X 的每个分量都是正态分布的
- ∑ki=1Xi=X1+X2+⋯+Xk 是正态分布的
- 每个边缘分布均是正态分布
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