多元正态分布

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在概率或者统计中,多元正态分布(多元高斯分布)是一元正态分布的扩展。其定义为:

定性描述

一个k维的随机向量,如果其k个分量的任意线性组合所构成的那个随机变量,都是一元正态分布的话,那么我们就说这个k维随机向量是服从k元正态分布。

k元正态分布常用来描述、逼近 这样的一组随机变量:实值随机变量的集合,这些随机变量之间(可能)有相关关系,并这些随机变量所构成的每一个cluster的中心都在某一个均值(集合中若干随机变量的均值)附近。

图示如下
2维高斯分布

概念及参数化

kdim 随机变量X=[X1X2,Xk]T 的高斯分布可以写作:
XN(μ,Σ)OrXNk(μ,Σ)
kdim 均值(mean vector)为:
μ=E[X]=[E[X1],E[X2],,E[Xk]]T
k×kdim的协方差矩阵(covariance matrix)为:
Σ=E[(XE[X])(XE[X])T]=[Cov[Xi,Xj];1<i,j<k]

要点:

  • 均值 μ 是一个 kdim 的向量
  • 协方差矩阵 Σ 是一个k×k对称矩阵

定义

一个随机向量 X=[X1,X2,,Xk]T 如果满足如下3个等价条件,那么我们就说 X 服从多元高斯分布:

  • 其分量(components)的每一个线性组合:Y=a1X1+a2X2++akXk 均为一元正态分布。也就是说,对任何常数向量 aRk, 随机变量 Y=aTX 都有一个一元高斯分布。
  • todo
  • todo

属性

由定义立即可以得到以下结论:

  • X 的每个分量都是正态分布的
  • ki=1Xi=X1+X2++Xk 是正态分布的
  • 每个边缘分布均是正态分布
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