一. 什么是微积分

学习目标

1.了解微积分的概念

2.介绍导数的形式化定义

3.三大求导法则：加法、乘法、链式法则

导数的定义

导数（derivative）, 是用来衡量函数随着自变量变换而变换的速度的量。

$f(x)$ 是一个以$x$ 为自变量的函数（或者这样说，$f(x)$ 是一个作用于自变量$x$的函数），其关于$x$的导数 记为：$f^\prime(x)$ 或者 $\frac{df}{dx}$, 定义为：
$$
f^\prime (x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
当然，函数$f(x)$ 对于$x$ 的导数$f^\prime(x)$ 也是一个关于自变量$x$ 的函数；只不过$f^\prime(x)$ 是用来刻画函数$f(x)$ 变换的函数，这一点我们很容易想象：对于自变量$x$的每个具体取之，在该点处 $f(x)$ 的变化可能不一样，又快又慢、变大变小。

在几何上的表现是某点切线的斜率。

PS: 变量这个概念非常依赖于 context，识别什么是自变量、什么是函数一定要结合具体的context.

三个求导法则

Sum Rule
$$
\frac{d(f(x)+g(x))}{dx} = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}=f^\prime(x)+g^\prime(x)
$$
Product Rule
$$
\begin{align}
\frac{d(f(x)g(x))}{dx}&= \frac{df}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg}{dx} \\
&= f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)
\end{align}
$$
Division Rule
$$
(\frac{f(x)}{g(x)})^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}
$$
Chain Rule
$$
\begin{align}
f(g) ,g(h),h(x) \\
f^\prime(x)=\frac{df}{dx}&= \frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dh}\cdot \frac{dh}{dx} \\
&= f^\prime(g) g^\prime(h)h^\prime(x)
\end{align}
$$

特殊函数的导数

1. $(e^x)^\prime = e^x$
2. $sin^\prime(x) = cos (x)$
3. $cos^\prime(x)=-sin(x)$
4. $(x^n)^\prime = nx^{n-1}$